Gdy dwa ciała są dociskane do siebie, to występują między nimi siły kontaktowe. Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą odległością. Jest to siła elektromagnetyczna. Żeby prześledzić ten problem rozważmy następujący przykład.

Przykład 1: Dwa klocki

Dwa klocki o masach \( m_{1} \) i \( m_{2} \) umieszczono na gładkiej powierzchni. Do klocka \( m_{1} \) przyłożono siłę \( F \) (zob. Rys. 1 ).

Rysunek 1: Dwie masy pchane siłą \( F \)

Wprawdzie siła \( \bf{F} \) jest przyłożona do klocka o masie \( m_{1} \), ale nadaje przyspieszenie \( a \) obu klockom więc

(1)

\( {\bf F}=(m_{{1}}+m_{{2}}){\bf a}. \)

Siła kontaktowa \( {\bf F} \) z jaką klocek o masie \( m_1 \) działa na klocek o masie \( m_{2} \) nadaje przyspieszenie klockowi \( m_{2} \). Ponieważ klocek \( m_{2} \) porusza się z przyspieszeniem \( \bf{a} \), więc siła kontaktowa wynosi

(2)

\( {\bf{ F}}_{{k}}=m_{{2}}\bf{ a}. \)

Oczywiście, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, klocek o masie \( m_{{2}} \) działa na klocek o masie \( m_{1} \) siłą reakcji \( -\bf{ F}_k \).

Siły kontaktowe, o których mówiliśmy, są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu, to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem (opóźnieniem), to musi na nie działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi nazywamy siłą tarcia.

Siła tarcia zawsze działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i może istnieć nawet wówczas, gdy powierzchnie są nieruchome względem siebie. Żeby się o tym przekonać wystarczy wykonać proste ćwiczenie. Połóżmy na stole jakiś obiekt np. książkę i spróbujmy wprawić ją w ruch stopniowo zwiększając przykładaną siłę. Początkowo, gdy siła jest "mała", obiekt nie porusza się. Oznacza to, że naszej sile \( F \) przeciwstawia się siła tarcia \( T \) równa co do wartości, lecz przeciwnie do niej skierowana. Zwiększamy dalej siłę \( F \) , aż książka zacznie się poruszać. Zauważmy, że im gładsza powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy tarciem statycznym. Maksymalna siła tarcia statycznego \( T_s \) jest równa tej krytycznej sile, którą musieliśmy przyłożyć, żeby ruszyć ciało z miejsca. Dla suchych powierzchni \( T_s \) spełnia dwa prawa empiryczne.

Stosunek maksymalnej siły \( {T}_s \) do siły nacisku \( F_N \) nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego \( \mu_s \)

Zwróćmy uwagę, że we wzorze ( 3 ) występują tylko wartości bezwzględne sił (a nie wektorowe), bo te siły są do siebie prostopadłe.

Zadanie 1: Ciało na równi pochyłej

Treść zadania:

Ciało o masie

(4)

\( m \)

spoczywa na równi pochyłej, której kąt nachylenia stopniowo zwiększamy. Oblicz przy jakim granicznym kącie nachylenia ciało zacznie się zsuwać, jeżeli współczynnik tarcia statycznego klocka o równię wynosi \( \mu_s \)?

Wskazówka: Skorzystaj z warunków, że siła reakcji \( R \) równoważy składową ciężaru prostopadłą do powierzchni równi (nacisk), a siła tarcia \( T \) równoważy składową ciężaru równoległą do równi.
\( \theta_{gr}= \)

Rozwiązanie:

Dane: \( m \), \( \mu_s \), przyspieszenie grawitacyjne \( g \). Klocek spoczywa na równi, bo oprócz siły grawitacji i reakcji podłoża działa na niego również siła tarcia statycznego ( Rys. 2 ).

Rysunek 2: Siły kontaktowe i siły tarcia

Siła reakcji \( R \) równoważy składową ciężaru prostopadłą do powierzchni równi (nacisk) \( R = Q_{y} \) = \( F_{N} \), natomiast siła tarcia \( T \) równoważy składową równoległą do równi \( T=Q_x \). Przy granicznym (maksymalnym) kącie

(5)

\( \begin{matrix}{mg\sin\theta_{{\text{gr}}}=\mu _{{s}}F_{{N}}}\\mg\sin\theta_{{\text{gr}}}=\mu _{{s}}Q_{{y}}\\mg\sin\theta_{{\text{gr}}}=\mu_{{s}}mg\cos\theta_{{\text{gr}}} \end{matrix} , \)

skąd otrzymujemy wartość granicznego kąta \( {tg}\theta_{gr}=\mu_s \). Pomiar kąta \( \theta_{gr} \) jest prostą metodą doświadczalną wyznaczenia współczynnika tarcia \( \mu_s \).

Wiemy już, że gdy działająca siła \( F \) jest większa od \( T_s \), to ciało zostanie wprawione w ruch, ale nadal będzie istniała siła tarcia, tarcia kinetycznego \( T_{k} \), przeciwstawiająca się ruchowi. Siła \( T_{k} \) spełnia dodatkowo, oprócz dwóch wymienionych powyżej, trzecie empiryczne prawo.

Istnieje, analogiczny do \( \mu_s \), odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego \( \mu_k \)

Dla większości materiałów \( \mu_k \)jest nieco mniejszy od \( \mu_s \).

Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości oddziaływań atomów na powierzchni. Dlatego ograniczmy się do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. Na przykład w samochodzie na pokonanie siły tarcia zużywa się około \( 20\% \) mocy silnika. Tarcie powoduje zużywanie się trących powierzchni i dlatego staramy się je zmniejszać. Z drugiej strony wiemy, że bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, czy też pisać ołówkiem.

Zadanie 2: Układ trzech ciał

Treść zadania:

Rozważ układ trzech ciał o masach \( 3m \), \( 2m \) i \( m \) połączonych nieważkimi nitkami (taki sam jak w przykładzie pokazującym zastosowanie zasad dynamiki Newtona w module Podstawy dynamiki ). Układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą \( F \). Między ciałami a powierzchnią działa siła tarcia. Dany jest współczynnik tarcia kinetycznego \( \mu_k \). Znajdź przyspieszenie układu i naprężenia nici. Pamiętaj o zrobieniu odpowiedniego rysunku i zaznaczeniu wszystkich działających sił.

Wskazówka: Przyspieszenie układu i siły naciągu nitek oblicz stosując drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała indywidualnie.

\( a= \)
\( n_{1}= \)
\( n_{2}= \)

Rozwiązanie:

Dane: \( F \) , \( m_{1}=m \), \( m_{2}=2m \), \( m_{3}=3m \), \( \mu_k \), przyspieszenie grawitacyjne \( g \)

Wykonujemy rysunek i zaznaczamy siły działające w układzie.

Rysunek 3: Układ trzech mas połączonych nitkami, ciągnięty siłą \( {\bf F} \).

Zapisujemy drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała osobno

(7)

\( \begin{matrix}{3ma=F-N_{{1}}-T_{{3}}}\\2ma=N_{{1}}-N_{{2}}-T_{{2}}\\ma=N_{{2}}-T_{{1}}\end{matrix} . \)

Następnie, korzystając z tego, że

(8)

\( \begin{matrix}{T_{{1}}=\mu_{{k}}mg}\\ T_{{2}}=\mu_{{k}}2mg\\ T_{{3}}=\mu_{{k}}3mg \end{matrix} \)

przepisujemy równania dynamiki w postaci

(9)

\( \mu _{{k}}=\frac{T_{{k}}}{F_{{N}}}. \)

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy poszukiwane wielkości

(10)

\( \begin{matrix}{a=\frac{F-\mu_{{k}}6mg}{6m}=\frac{F}{6m}-\mu_{{k}}g} \\N_{{1}}=\frac{F}{2} \ \ \ \ \ \ N_{{2}}=\frac{F}{6}\end{matrix} . \)

W przykładach pokazujących zastosowanie zasad dynamiki Newtona opisywaliśmy ruch ciał z punktu widzenia inercjalnych układów odniesienia, to znaczy takich, w których ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Teraz zajmiemy się układami nieinercjalnymi i występującymi w nich siłami bezwładności.